จำนวนเฉพาะ

จํานวนเฉพาะ คืออะไร เลขอะไรบ้างที่เป็น จํานวนเฉพาะ และ จํานวนเฉพาะ 1-1000 มีทั้งหมดกี่ตัว หากจำไม่ได้ก็ไม่เป็นไร ขอทบทวนความรู้ทางวิชาคณิตศาสตร์ ในเรื่อง "จำนวนเฉพาะ" ถ้าอยากรู้แล้วว่า "จำนวนเฉพาะ" คืออะไร และ จำนวนเฉพาะ มีเลขอะไรบ้าง

          "จำนวนเฉพาะ" หรือ ไพรม์ นัมเบอร์ (Prime number) คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13 และ 17 เป็นต้น และสำหรับเลข 1 นั้น ให้ตัดทิ้ง เพราะ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างจำนวนเฉพาะที่เรานำมาฝาก มีดังนี้

 จํานวนเฉพาะ 1-100 มีทั้งหมด 25 ตัว ดังนี้

          2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 และ 97

จํานวนเฉพาะ 1-200 มีทั้งหมด 46 ตัว ดังนี้

          2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 และ 199

จํานวนเฉพาะ 1-1000  มีทั้งหมด 176 ตัว ดังนี้

          2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 221, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 403, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 481, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 533, 541, 547, 559, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 611, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673,  677, 683, 689, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 767, 769, 773, 787, 793, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 871, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 923, 929, 937, 941, 947, 949, 953, 967, 971, 977, 983, 991 และ 997

          สำหรับวิธีตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ สามารถทำได้ ดังนี้

          สมมติเขาถามว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะรึเปล่า ทุกคนก็คงจะเริ่มด้วยการประมาณค่ารากที่สองของ 331 ซึ่งได้ประมาณเกือบ ๆ 18 จากนั้นก็เริ่มเอาจำนวนเฉพาะไปหาร 331 ดู โดยเริ่มจาก 2 3 5 7 ไปเรื่อย ๆ แต่พอเราลองไปจนถึง 17 แล้วยังไม่มีจำนวนเฉพาะสักตัวหาร 331 ลงตัว เราก็หยุดและสรุปว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะ โดยไม่ต้องลองเอาจำนวนเฉพาะอื่นๆ ไปหาร 331 อีกต่อไป  มีวิธีคิดดังนี้คือ ให้ n เป็นจำนวนนับใด ๆ (n เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ก็เป็นจำนวนประกอบเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง)

              - สมมติว่า n เป็นจำนวนประกอบ

              - จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีจำนวนอื่นนอกจาก 1 และตัวมันเองที่หารมันลงตัว

              - ดังนั้นมีจำนวนนับ a โดย a หาร n ลงตัว และ 1 < a < n

              - นั่นคือจะมีจำนวนนับ b ที่ 1 < b < n และ n = a * b

              - โดยไม่เสียนัยสำคัญกำหนดให้ a <= b (ถ้า a > b ก็ให้สลับค่า a กับ b)

              - สังเกตว่า a = รากที่สองของ (a^2) <= รากที่สองของ (a*b) = รากที่สองของ n

                                                     วีดีโอเกี่ยวกับการหาจำนวนเฉพาะ

                                                
 วีดีโอนี้ จะเป็นวีดีโอเกี่ยวกับการหาจำนวนเฉพาะ จะมีวิธีการสอน การหาจำนวนเฉพาะ โดยวิธีการจำง่ายๆ

ที่มา

 http://education.kapook.com/view63401.html  

 http://www.youtube.com/watch?v=IndmneOQW_k   13 07 2012

พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก

 การหาพื้นที่ผิวและปริมาตร

 การหาพื้นที่ผิวและปริมาตร ของทรงกระบอก โดยเรามาดูตัวอย่าง ของรูปทรงกระบอก

เมื่อเรา เห็นภาพทรงกระบอก มีอยู่ทั่วไปในชีวิตประจำวันเช่น  ถังน้ำ แท้งก์น้ำทรงกระบอก  แก้วน้ำ

ทรงกระบอก  ที่เราเห็นโดยทั่วไป   มีลักษณะดังนี้

 ดังรูปด้านบน  จะเห็นได้ว่า  มีลักษณะที่ฐาน เป็นรูปทรงกลม ทั้งด้านล่างและด้านบน

ตามรูปจะพบว่า ด้านบนและด้านล่างนั้นเท่ากัน  จึงทำให้ทรงสูง ที่ต่อระหว่าง

ด้านบน และด้านล่างนั้น เท่ากัน 

การหาปริมาตรของทรงกระบอก 

 เราจะมาทำความเข้าใจ โดยรูปภาพว่า เราจะหาปริมาตรของทรงกระบอก มาได้อย่างไร

จากรูปด้านบน พื้นที่ฐาน เป็นทรงกลม เมื่อเราค่อย ๆ เพิ่มรูปทรงกลม ลงในทรงกระบอก

จะเห็นได้ว่าส่วนของพื้นที่วงกลมถูกซ้อนกันเป็นชั้น ๆ เมื่อเรา  ซ้อนจนเต็มจะได้ดังรูป

  ดังนั้น เราจะได้ รูปทรงกลมเข้าไปแทนที่รูปทรงกระบอก เต็มพื้นที่ทั้งหมด

 เรานำวงกลม ที่เท่ากับฐาน มาซ้อนกันไป จนเต็ม  เราจะได้  ความสูงที่เท่ากับความสูงของทรงกระบอก

 โดยพื้นที่ของวงกลมทั้งหมดที่ใส่ลงไป   เป็นปริมาตรของทรงกระบอก

สูตรในการหาปริมาตร ของทรงกระบอก

          ด้านล่างเรียกว่า  พื้นที่ฐาน      โดยเราจะเห็นได้ว่าเป็นวงกลม

          พื้นที่  วงกลม  =    ¶ r 2       โดยที่   ¶  = 22 / 7          และ  r  =  รัศมี

 จากความเข้าในในตอนเริ่มแรก เมื่อเรานำวงกลม ที่เท่ากับฐาน มาซ้อนกันไป จนเต็ม

 เราจะได้  ความสูงที่เท่ากับความสูงของทรงกระบอก   

 

จากรูป       ปริมาตร ทรงกระบอก =  พื้นที่ฐาน  x   สูง

                                                                             =   ¶ r 2  h 

                           

โดยที่   ¶  = 22 / 7   และ  r  =  รัศมี ,  h  =  ความสูง

 

 การหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก

 เราสามารถหาได้โดยไม่ยาก  ก่อนอื่นเรามาทำความเข้าใจ กับพื้นที่ผิว กันก่อน

 วีดีโอเกี่ยวกับ การหาปริมาตรของทรงกระบอก

 ในวีดีโอนี้ จะช่วยให้เรารู้วิธีการหาปริมาตรของทรงกระบอกมากขึ้น เนื่องจากในวีดีโอนี้จะมีการใช้สูตรในการหาปริมาตรของทรงกระบอกด้วย

ที่มา

http://www.goonone.com/index.php/2010-06-07-03-09-30/393-2010-06-07-02-57-32   07 06 2010

http://www.youtube.com/watch?v=8-20lgy8fU4   04 01 2013

สมบัติรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยม เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือ รูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีมุม 3 มุมหรือจุดยอด และมีด้าน 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A,B, และ C เขียนแทนด้วย  ABC

คุณสมบัติและการแบ่งประเภทของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวของด้าน

1.รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมีมุมทุกมุมขนาดเท่ากัน นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° และเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

                                                     รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 

2.รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน และมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน คือมุมที่ไม่ได้ประกอบด้วยด้านที่เท่ากันทั้งสอง

                                                    รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 

3.รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า (scalene) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในก็มีขนาดแตกต่างกันด้วย

                                                   รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า 

คุณสมบัติและการแบ่งประเภทของรูปสามเหลี่ยมตามมุมภายใน

1.รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก a, b เขียนอย่างย่อเป็น a2 + b2 = c2 ดูเพิ่มเติมที่ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ

 

                                                        รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

2.รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม

2.1 รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)

2.2. รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 

การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 1/2 x ฐาน x สูง

                                      วีดีโอเกี่ยวกับ การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

 วีดีโอนี้ จะเป็นการสอน การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ทำให้สามารถเข้าใจการหาพื้นที่ได้มากขึ้น

ที่มา

http://www.youtube.com/watch?v=zAZjcGm5HB0 08 11 2012

http://1sutida036.blogspot.com/2011/09/3-3-ab-c-abc-1.html 14 09 2011

พีระมิด

1.การเรียกชื่อพีระมิด

2. ส่วนประกอบของพีระมิด  

พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง   พีระมิดตรง หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐานเป็นระยะเท่ากัน มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่สันทุกสันยาวไม่เท่ากัน สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า พีระมิดเอียง

3. การหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิด

การจะหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดได้นั้น ควรจะหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิดให้ได้ก่อน การหาความยาวด้านต่างๆ มักใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

3.1) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดความยาวสัน

3.2) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดส่วนสูง

3.3) การหาความสูง กรณีโจทย์กำหนดสูงเอียง

4. พื้นที่ผิวของพีระมิด

4.1) พื้นที่ผิวข้าง

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

4.2) พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของพีระมิด คือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างทุกด้านของพีระมิด ดังนั้น

พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

สรุป

1) พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด

และพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด

2) สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง

3) ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง

4) สูตรการหาพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน

ในวีดีโอนี้จะเป็นเรื่องเกี่ยวกับการหาพื้นที่ผิวของพีระมิด ทำให้เข้าใจการหาพื้นที่ผิวของพีระมิดมากขึ้น 

ที่มา

http://www.youtube.com/watch?v=IkfLmMfRCOc 12 08 2013

http://www.thaigoodview.com/node/46868?page=0,2 25 11 2009